Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Meine Damen und Herren, herzlich willkommen zur Vorlesung. Letzte Vorlesungseinheit heute. Wir

haben das Kapitel 5, Parameter erregte Schwingungen, beim letzten Mal ja schon angefangen. Und

Parameter erregte Schwingungen gehen immer einher, halt beim Zeitvariantensystem. Ich

habe also eine Differentialgleichung vom Typ x Punkt ist gleich a mal x plus b, wobei das a

jetzt selber zeitabhängig ist, also von t abhängt im Gegensatz zu dem Zeitinvariantensystem, bei dem

das a halt nicht von der Zeit abhängt. Ich habe Anfangsbedingungen dazu und dann kann ich zumindest

formal die allgemeine Lösung genauso hinschreiben wie für ein Zeitinvariantensystem mit Hilfe der

Fundamentalmatrix, das heißt ich kann es eigentlich genauso hinschreiben als Phi von t und t null,

wobei man jetzt dieses t null tatsächlich kennen muss, nicht beliebig auf null setzen darf. Ansonsten

sieht es aber formal genauso aus. Das Problem, was wir im letzten Mal halt schon diskutiert haben,

ist, dass ich dieses Phi, diese Fundamentalmatrix nicht berechnen kann auf einfache Art und Weise,

so wie wir das für eine konstante Matrix a hatten. Also ich kann jetzt nicht die

Matrix-Exponentialfunktion auswerten, ja e hoch a t, egal ob in einer Reihenentwicklung oder wie

auch immer, das heißt ich könnte dieses Phi, müsste ich formal bestimmen, durch eine numerische

Integration tatsächlich für das spezielle System mit den gegebenen Einheitsanfangsbedingungen

könnte ich das sozusagen ausrechnen numerisch. Wenn ich das aber machen muss, dann kann ich gleich

die obere Differentialgleichung numerisch hoch integrieren über die Zeit, das heißt diese

Darstellung über die Fundamentalmatrix, da man die ohnehin nur numerisch bekommt, hilft mir hier

nichts. Das heißt, wenn ich eine ganz beliebige Funktion a von t dort habe und auch irgendwie

beliebige rechte Seiten, womöglich bin ich im Prinzip auf eine numerische Lösung angewiesen.

Ein Sonderfall, bei dem man ein bisschen weiterkommt, sind die periodisch Zeitvariantensysteme. Das ist

in der Praxis nicht so selten, das ist also halt, dass es völlig regellos diese Funktion a von t ist,

es unwahrscheinlich. In der Praxis ja typischerweise ist das wiederum auch etwas periodisches,

sodass ich darstellen kann, dass a von t plus groß t, was die Periode darstellt, ist dann wieder dem

a von t gleich. Dieses kann man, wenn man das hat, diese Beziehung, dass das a derartig periodisch

ist, dann gilt dieser Zusammenhang, der darunter steht, dass für die Fundamentalmatrix Phi gilt,

wenn die um eine Periode weitergelaufen ist sozusagen, unterscheidet die sich nur um einen

konstanten Faktor. Also es kann das Phi von t plus groß t darstellen als das Phi von t mal eine

konstante Matrix C, die nicht von t abhängt. Das nennt man also die Floquet-Theorie. Floquet hat

sozusagen gezeigt, dass das gilt und man kann das halt auch sozusagen durch Einsätzen zeigen.

Also ich habe hier Abschnitt 5 Punkt 2. Was ist das denn für eine Kreide hier? Periodisch

Zeitvariante-Systeme. Das heißt, ich habe hier a von t plus t, t0 ist gleich a von t und t0. Dann

gilt daraus, dass das Phi, die Fundamentalmatrix, von t plus t0 und t0 ist das Phi von t und t0 mal

eine Matrix C. C ist eine konstante und reguliere Matrix. Das heißt, man könnte die auch invertieren,

wenn man wollte. Dass das in dieser Form dargestellt ist, dass das so periodisch ist,

bedeutet nicht unbedingt, dass die Lösung selber periodisch ist. Tatsächlich, also die

Periodizität in dem a und dieses Verhalten hier bedeutet nicht, dass jetzt x von t selber

irgendetwas periodisches sein muss. Es muss also keine Schwingung oder dergleichen beschreiben.

Das ist damit nicht ausgesagt. Was man zeigen kann ist, dass diese Ansatz die Differentialgleichung

erfüllt. Erfüllt die DGL, denn ich kann die Ableitung bilden. Phi Punkt von t plus t und t0 ist,

wenn ich das hier einsetze, halt offensichtlich das Phi von t und t0 Punkt mal C. Wenn das eine

konstante ist, passiert mit der nichts. Phi Punkt selber erfüllt aber die Differentialgleichung.

Das heißt, hierfür kann ich schreiben, ist A von t mal das Phi von t und t0 mal das C.

Und das hier ist aber wieder dieses hier, sodass hier steht, das ist A von t mal Phi von t plus t und t0.

Das heißt, Phi Punkt, also das Phi in dieser Darstellung, sie erfüllt selber die Differentialgleichung.

Der Vorteil ist, wenn ich das habe, dass es reicht, die Fundamentalmatrix auszurechnen für eine Periode.

Also ich muss sie von t0 bis t0 plus groß t kennen. Alle folgenden Zeiten kann ich sozusagen durch

Multiplikation mit diesem C halt immer produzieren. Das heißt, ich muss nicht das Phi über alle Zeiten

ausrechnen, sondern halt nur über eine Periode. Und das ist natürlich deutlich weniger Aufwand.